Los babilonios y los egipcios ( hace más de 3000 años ) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea. En torno al 150 a.C. desarrolló las primeras tablas trigonométricas.
Claudio Ptolomeo, que nació en Egipto y residió en Alejandría, realizó observaciones y trabajos astronómicos entre los años 127 y 151. Escribió un tratado llamado Almagesto. Este tratado constituye la primera sistematización de la hoy llamada trigonometría plana y esférica. Construyó una tabla que relacionaba ángulos y cuerdas, partiendo del valor de una cuerda de 1° .
Es importante destacar los escritos de los matemáticos y astrónomos hindúes.: Pancha Siddhanta de VaraHamihiraen el año 500, Rama Sputa Siddhanta de Brahmagupta en el 628 y el más destacado Siddhanta Siromani de Bhaskaracharya en 1150. Ellos desarrollan un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco más Poco a poco y gracias al buen hacer de matemáticos como Johannes Müller, John Napier, Isaac Newton, Euler…. Se desarrolló la trigonometría para su utilización en las matemáticas puras y en las aplicadas
APLICACIONES A LA TOPOGRAFIA
La Topografía tiene como objeto medir extensiones de tierra. Para ello el topógrafo mide con el teodolito ángulos sobre el terreno y por medio de cálculos matemáticos consigue obtener distancias horizontales y verticales, áreas y volúmenes.
Existen una gran variedad de problemas de cálculo de distancias. Agruparemos en tres tipos, los ejercicios que vamos a realizar .
INTENTA CALCULAR LAS DISTANCIAS b, CP, x, y
Para realizar estos y otros ejercicios, conviene que practiques con las construcciones que siguen. En cada una de ellas se indica el problema a resolver y las acciones a realizar
El juego del billar
Fijate en las instrucciones de juego y contesta a las siguientes preguntas, haciendo uso de la Trigonometría
Puedes mover las bolas del billar y averigua el ángulo con el que debes rebotar para poder dar el rebote.
Averigua el recorrido que debe hacer cada bola para rebotar.
La SuperMoto
Desde mi SuperMoto naranja, veo un avión a 62 m. Si giro 24 ° hacia la izquierda, observo otra SuperMoto verde a 205.4 m. Calcula la distancia entre el avión y la SuperMoto verde.
Activa las casilla correspondiente, para verificar los resultados
Modifica los puntos B y D, situándolos donde te apetezca. Activa las casillas de las visuales y calcula la distancia entre los dos puntos. Verifica los resultados, activando la casilla que nos da la distancia entre los dos puntos. Sitúa los puntos B y D en distintos lugares del dibujo y calcula la distancia entre ellos.
Los Pokemon
Estamos situados en un punto C y bajo un ángulo γ miramos un Pokemon. Si retrocedemos 4.5 metros, el ángulo es β. Calcula la altura del Pokemon y su distancia al punto inicial.
Activa las casilla correspondientes para verificar los resulados obtenidos.
Puedes tomar los mandos y aterrizar verás como cambia el avión
Distancia entre dos puntos A y B inaccesibles
Queremos calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B. Desde dos puntos C y D , separados 200 m, medimos los ángulos
α=40°, γ=25°, β=46° y δ=32°. Calcula la distancia entre A y B.
Resuelve los diferentes triángulos dibujados ( verde, azules, rosa ).
Comprueba los resultados, activando las casillas correpondientes, hasta llegar al valor AB.
Puedes modificar la distancia entre los puntos D y C , moviendo cualquiera de éstos puntos.
Repite el proceso y verifica la solución activando las casillas
Si nos colocamos a más distancia y observaramos otro globo bajo los mismos ángulos .¿
La altura sería mayor o menor?.
Explica en que supuestos se encontraría un globo a más altura.Explica la altura en la que se encontraría un globo según varía la distancia y los ángulos
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ALGO DE HISTORIA
Los babilonios y los egipcios ( hace más de 3000 años ) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea. En torno al 150 a.C. desarrolló las primeras tablas trigonométricas.
Claudio Ptolomeo, que nació en Egipto y residió en Alejandría, realizó observaciones y trabajos astronómicos entre los años 127 y 151. Escribió un tratado llamado Almagesto. Este tratado constituye la primera sistematización de la hoy llamada trigonometría plana y esférica.
Construyó una tabla que relacionaba ángulos y cuerdas, partiendo del valor de una cuerda de 1° .
Es importante destacar los escritos de los matemáticos y astrónomos hindúes.: Pancha Siddhanta de VaraHamihiraen el año 500, Rama Sputa Siddhanta de Brahmagupta en el 628 y el más destacado Siddhanta Siromani de Bhaskaracharya en 1150. Ellos desarrollan un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco más
Poco a poco y gracias al buen hacer de matemáticos como Johannes Müller, John Napier, Isaac Newton, Euler…. Se desarrolló la trigonometría para su utilización en las matemáticas puras y en las aplicadas
APLICACIONES A LA TOPOGRAFIA
La Topografía tiene como objeto medir extensiones de tierra. Para ello el topógrafo mide con el teodolito ángulos sobre el terreno y por medio de cálculos matemáticos consigue obtener distancias horizontales y verticales, áreas y volúmenes.
Existen una gran variedad de problemas de cálculo de distancias. Agruparemos en tres tipos, los ejercicios que vamos a realizar .
INTENTA CALCULAR LAS DISTANCIAS b, CP, x, y
Para realizar estos y otros ejercicios, conviene que practiques con las construcciones que siguen.
En cada una de ellas se indica el problema a resolver y las acciones a realizar
El juego del billar
Fijate en las instrucciones de juego y contesta a las siguientes preguntas, haciendo uso de la TrigonometríaPuedes mover las bolas del billar y averigua el ángulo con el que debes rebotar para poder dar el rebote.
Averigua el recorrido que debe hacer cada bola para rebotar.
La SuperMoto
Desde mi SuperMoto naranja, veo un avión a 62 m. Si giro 24 ° hacia la izquierda, observo otra SuperMoto verde a 205.4 m.
Calcula la distancia entre el avión y la SuperMoto verde.
Activa las casilla correspondiente, para verificar los resultados
Supermoto.ggb
Los Pokemon
Estamos situados en un punto C y bajo un ángulo γ miramos un Pokemon. Si retrocedemos 4.5 metros, el ángulo es β.Calcula la altura del Pokemon y su distancia al punto inicial.
Activa las casilla correspondientes para verificar los resulados obtenidos.
Tamaño de los Pokemon.ggb
- Si modificamos la distancia entre los puntos de observación, ¿ Qué valores obtienes?.
Comprueba los resultados, activando las casillas adecuadas.- Como sabes, los Pokemon evolucionan al crecer. Utiliza el deslizador que los hace crecer.
Calcula nuevamente alturas y distanciasAterriza el avión
Resolver el problema
avion(4).ggb
Puedes tomar los mandos y aterrizar verás como cambia el avión
Distancia entre dos puntos A y B inaccesibles
Queremos calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B. Desde dos puntos C y D , separados 200 m, medimos los ángulosα=40°, γ=25°, β=46° y δ=32°.
Calcula la distancia entre A y B.
- Resuelve los diferentes triángulos dibujados ( verde, azules, rosa ).
Comprueba los resultados, activando las casillas correpondientes, hasta llegar al valor AB.Cálculo de la altura de un globo.
Dada una situación calcula la altura del globo
globo.ggb
- Si nos colocamos a más distancia y observaramos otro globo bajo los mismos ángulos .¿
La altura sería mayor o menor?.GUÍA DIDÁCTICA